산술의 기초 줄거리

핵심 아이디어 8가지

1. 핵심 아이디어 1 · 무료로 읽기

   수 1의 정의조차 불분명

   프레게는 간단한 시험으로 시작해요. 누군가에게 수 1이 무엇인지 물으면 아마 사물이라고 답할 거예요. 하지만 그것은 정의가 아니에요. 1이 사물에 속한다고 말할 뿐, 어떤 사물인지는 말해 주지 않아요.

   각자가 아무 대상이나 골라서 1이라고 불러도 된다면, 1에 관한 진술은 사람마다 다른 뜻이 돼요. 과학은 그런 토대 위에 설 수 없어요. 대수에서 문자 a는 일반성을 나타낼 뿐이고, a에 어떤 수를 넣어도 진술은 참으로 유지돼요. 기호 1은 달라요. 1 더하기 1은 2라는 식에서 1이 놓인 2곳에 모두 달을 넣어 보세요. 그러면 그 진술은 더 이상 말이 되지 않아요.

   따라서 수 1은 명확한 속성을 지닌 특정한 대상처럼 보여요. 그런데 수학자들은 자신의 가장 기초적인 연구 대상에 관해 질문을 받으면 만족스러운 답을 내놓지 못해요. 어떤 이들은 이미 해결된 문제이며 아이들이나 배울 만한 것이라고 말해요. 프레게는 바로 그 태도를 탓해요. 배움의 가장 기본적인 조건은 모른다는 사실을 아는 것이에요.

   어떤 과학의 기본 용어를 정의할 수 없다면, 그 과학의 토대에는 메울 가치가 있는 빈틈이 있는 셈이에요.

2. 2

   산술의 토대는 심리학이 아니라 논리

   프레게는 탐구 전체를 이끌 3가지 원칙을 세워요. 심리적인 것과 논리적인 것을 구별해야 해요. 단어의 뜻은 오직 문장 안에서 물어야 해요. 그리고 개념과 대상의 차이를 절대로 흐려서는 안 돼요.

   무료로 시작해 읽기
3. 3

   수의 등식은 직관이나 관찰이 아닌 증명의 대상

   프레게는 2 더하기 3은 5와 같은 가장 소박한 진리에서 시작해요. 칸트는 이런 진리를 증명할 수 없으며, 손가락이나 점에 대한 직관에 근거한다고 보았어요. 프레게는 37863에 135664를 더하는 큰 수의 덧셈으로 이 주장을 시험해요. 그만큼 많은 손가락을 직관할 수 있는 사람은 없어요. 계산해서 알아내야 하는 진리라면 증명이…

   무료로 시작해 읽기
4. 4

   사물의 속성이 아닌 수

   수를 나타내는 말은 빨갛다는 말처럼 형용사로 쓰일 때가 많아요. 그래서 수를 대상의 속성으로 여기기 쉬워요. 프레게는 이 생각을 해체해요. 누군가에게 카드 묶음을 건네고 그 수를 물어보세요. 카드의 수인지, 완전한 카드 세트의 수인지, 게임의 점수 단위 수인지를 밝혀 주기 전에는 답할 수 없어요. 돌의 무게는 1가지로…

   무료로 시작해 읽기
5. 5

   같으면서도 달라야 하는 단위

   많은 저자는 수가 단위들의 집합이라고 말해요. 프레게는 단위라는 말이 사물이라는 말에 무엇을 더해 주는지 물어요.

   무료로 시작해 읽기
6. 6

   수에 관한 진술은 개념에 관한 것

   프레게의 해법은 같은 광경을 2가지로 서술하는 데서 시작해요. 이것은 나무 무리라고 말해도 참이고, 이것들은 나무 5그루라고 말해도 참이에요. 세상에서 달라진 것은 없고, 설명만 달라졌어요. 그러므로 수는 무더기 안에 있지 않아요. 수에 관한 진술은 개념에 관해 무언가를 말해요.

   무료로 시작해 읽기
7. 7

   대상의 1대1 대응으로 수 정의하기

   프레게는 먼저 이런 정의를 시도해요. 어떤 개념 아래 아무것도 속하지 않으면 0을 적용해요. 무언가가 속하고, 그에 속하는 어떤 2개의 대상도 서로 같으면 1을 적용해요. 하지만 이 정의는 실패해요. 수가 개념에 속한다는 표현만 설명할 뿐, 대상으로서의 0과 1을 설명하지 못해요. 율리우스 카이사르가 수인지 아닌지조차 결정할 수…

   무료로 시작해 읽기
8. 8

   0과 1, 무한을 차근차근 세우는 논리

   정의를 마련한 프레게는 수를 구성해요.

   무료로 시작해 읽기