Aritmetikkens grunnlag: handling og sammendrag

De 8 hovedideene

1. Hovedidé 1 · gratis å lese

   Selv tallet 1 mangler en klar definisjon

   Frege begynner med en enkel prøve. Spør noen hva tallet 1 er, og svaret blir gjerne at det er en ting. Men det er ingen definisjon. Setningen har ubestemt artikkel på den ene siden og bestemt artikkel på den andre. Den sier at 1 hører til blant ting, men ikke hvilken ting det er.

   Hvis alle kan velge en gjenstand og kalle den Én, betyr utsagn om Én noe forskjellig for hver person. De får ikke noe felles innhold. Vitenskap kan ikke bygge på det.

   Noen innvender at bokstaven a i algebra heller ikke har noen fast betydning. Men a skal ikke betegne et bestemt tall, svarer Frege. Den uttrykker noe allment. Sett et hvilket som helst tall inn for a i a pluss a minus a er lik a. Bruk samme tall hver gang, så stemmer utsagnet. Tegnet 1 er annerledes. Setter du månen inn for begge 1-tallene i 1 pluss 1 er lik 2, mister utsagnet mening.

   Tallet 1 virker altså som et bestemt objekt med bestemte egenskaper, som å forbli uendret når det ganges med seg selv. Frege finner det pinlig at matematikere ikke kan forklare sitt enkleste emne. Negative tall, brøker og komplekse tall kan ikke avklares så lenge grunnlaget er uklart.

   Han venter innvendingen om at saken er avklart og hører hjemme hos barn. Nettopp denne holdningen kritiserer han.

   Når et grunnleggende ord i en vitenskap ikke kan defineres, har vitenskapen et hull som bør tettes.

2. 2

   Logikk, ikke psykologi, må begrunne aritmetikken

   Frege setter 3 regler for undersøkelsen.

   Start gratis for å lese
3. 3

   Tallikninger kan bevises, ikke anskues eller observeres

   Frege begynner med enkle sannheter som 2 pluss 3 er lik 5.

   Start gratis for å lese
4. 4

   Tall er ikke egenskaper ved ting

   Tallord brukes ofte som adjektiver, som hard eller rød.

   Start gratis for å lese
5. 5

   Enheter må være like og forskjellige samtidig

   Mange sier at et tall er en samling enheter.

   Start gratis for å lese
6. 6

   En antallsangivelse handler om et begrep

   Freges løsning begynner med ett synsinntrykk og 2 beskrivelser.

   Start gratis for å lese
7. 7

   Definer tall ved parvis tilordning

   Frege prøver først denne definisjonen: Et begrep har antallet 0 når ingenting faller inn under det, og 1 når noe gjør det og hvilke som helst 2 slike ting er identiske.

   Start gratis for å lese
8. 8

   Logikken bygger 0, 1 og uendeligheten trinnvis

   Med definisjonen på plass bygger Frege tallene.

   Start gratis for å lese